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» 2007年02月23日 11時00分 UPDATE

3分LifeHacking:複利計算を“暗算”で行う

もし100万円を12%の金利で預けた場合、6年経つと資産は約200万円……。こんな、資産運用や借金の概算をざっくり暗算する方法を紹介しよう。

[斎藤健二,ITmedia]

 投資をしようと思い立ったり、家を買うなど借金をしたりするときに、必ずついて回るのが複利計算だ。5%の金利であっても、その利子についてさらに利子がつくことで、資産や借金の額が急速に大きくなることを“複利”という。

 普通に考えれば、100万円に最初の1年で5%の利子がついて105万円。2年目は105万円に5%の利子がついて、110万2500円、3年目は110万2500円に……という計算になる。電卓でも(金融電卓でない限り)同じように計算しなくてはならず、面倒なことこの上ない。

 ただしいわゆる“投資”をかじったことのある人なら、「72の法則」を聞いたことがあるだろう。これは、72を利率のパーセントで割ると、資産や借金が2倍になる年数が分かるというものだ。例えば、100万円を毎年6%で運用すると、12年で201万2196円となり、ほぼ2倍となる。

 30年ほど前は郵便局定期預金の利率が7%程度あって、「10年で貯金が2倍になる」といわれていたが、これも72÷7=10.2という計算で表される。

 3000万円を金利2%で借金した──。この場合、返さなければいけない額は、72÷2=36。つまり36年で額はだいたい2倍となる。住宅など35年ローンの場合、毎月の支払いによって徐々に元本も減っていくので、約4000万〜4500万円程度の合計返済額となる。※初出で住宅ローンの場合の計算方法が誤っておりました。お詫びし、訂正させていただきます

資産を3倍にするには?

 同様に、では資産が3倍になるのにかかる期間はどれくらいか。これは「114の法則」という。同じく114を利率で割れば、だいたいの3倍になる年数が分かる。

 ちなみに4倍は、2倍のさらに2倍だから、72の法則で出した年数を2倍すればいい。また、2倍になるのにかかる年数の約半分の年数で投資を止めた場合、1.4倍少々に増えている。先ほどの100万円を6%で運用すると、2倍の200万円になるにはだいたい12年かかるが、6年目には142万円程度になっているということだ。

 では、いったいどうして72の法則や114の法則が成り立つのだろうか。

複利計算の近似式

 数式で考えると、利率をr、年数をNとした場合、資産の増加は、

  • A(1+r)^N

 という式で表される。利率が0〜15%程度の場合、この式は、

  • 1+rN+1/2(rN)^2

 という式が近似式となる。

  • 72÷利率=2倍になる年数

 とは、利率×年数=0.72(※パーセントなので100分の1する)という意味でもあるので、rN=0.72と置いて近似式を計算すると1.972となり、ほぼ2倍になっていることが分かる。

 数式を日本語にしてみると、「利率と年数を掛けて1を足す。利率と年数を掛けて2乗して半分にする。その両方を足すと資産の増加率となる」わけだ。72/114の法則ほど簡単ではないが、これを覚えておけば、けっこう暗算が可能になる。「10%の利率で10年借りない?」 と言われても、これがだいたい2.5倍くらいの合計支払いだということが分かるわけだ。

 上記の計算を暗算するとき、問題となるのがやはり2乗の部分。さて、下記の公式を覚えているだろうか。これを使えば2乗の暗算は簡単にできる。

 (A+B)^2=A^2+2AB+B^2

 たとえば14の2乗は、10^2+4^2+2×10×4=100+16+80=196──となるわけだ。


 ちなみに、利率が小さい場合しか72の法則はうまく働かないのに注意。例えば、利子が36%ついても2年ではまだ2倍に達しないし、72%の利率でも1年で2倍にならないことは明らかだ。

複利計算早見表
年数\利率 0.5% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 10%
1 1.01 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.10
2 1.01 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.17 1.21
3 1.02 1.03 1.06 1.09 1.12 1.16 1.19 1.23 1.26 1.33
4 1.02 1.04 1.08 1.13 1.17 1.22 1.26 1.31 1.36 1.46
5 1.03 1.05 1.10 1.16 1.22 1.28 1.34 1.40 1.47 1.61
6 1.03 1.06 1.13 1.19 1.27 1.34 1.42 1.50 1.59 1.77
7 1.04 1.07 1.15 1.23 1.32 1.41 1.50 1.61 1.71 1.95
8 1.04 1.08 1.17 1.27 1.37 1.48 1.59 1.72 1.85 2.14
9 1.05 1.09 1.20 1.30 1.42 1.55 1.69 1.84 2.00 2.36
10 1.05 1.10 1.22 1.34 1.48 1.63 1.79 1.97 2.16 2.59
11 1.06 1.12 1.24 1.38 1.54 1.71 1.90 2.10 2.33 2.85
12 1.06 1.13 1.27 1.43 1.60 1.80 2.01 2.25 2.52 3.14
13 1.07 1.14 1.29 1.47 1.67 1.89 2.13 2.41 2.72 3.45
14 1.07 1.15 1.32 1.51 1.73 1.98 2.26 2.58 2.94 3.80
15 1.08 1.16 1.35 1.56 1.80 2.08 2.40 2.76 3.17 4.18
16 1.08 1.17 1.37 1.60 1.87 2.18 2.54 2.95 3.43 4.59
17 1.09 1.18 1.40 1.65 1.95 2.29 2.69 3.16 3.70 5.05
18 1.09 1.20 1.43 1.70 2.03 2.41 2.85 3.38 4.00 5.56
19 1.10 1.21 1.46 1.75 2.11 2.53 3.03 3.62 4.32 6.12
20 1.10 1.22 1.49 1.81 2.19 2.65 3.21 3.87 4.66 6.73
21 1.11 1.23 1.52 1.86 2.28 2.79 3.40 4.14 5.03 7.40
22 1.12 1.24 1.55 1.92 2.37 2.93 3.60 4.43 5.44 8.14
23 1.12 1.26 1.58 1.97 2.46 3.07 3.82 4.74 5.87 8.95
24 1.13 1.27 1.61 2.03 2.56 3.23 4.05 5.07 6.34 9.85
25 1.13 1.28 1.64 2.09 2.67 3.39 4.29 5.43 6.85 10.83
26 1.14 1.30 1.67 2.16 2.77 3.56 4.55 5.81 7.40 11.92
27 1.14 1.31 1.71 2.22 2.88 3.73 4.82 6.21 7.99 13.11
28 1.15 1.32 1.74 2.29 3.00 3.92 5.11 6.65 8.63 14.42
29 1.16 1.33 1.78 2.36 3.12 4.12 5.42 7.11 9.32 15.86
30 1.16 1.35 1.81 2.43 3.24 4.32 5.74 7.61 10.06 17.45
31 1.17 1.36 1.85 2.50 3.37 4.54 6.09 8.15 10.87 19.19
32 1.17 1.37 1.88 2.58 3.51 4.76 6.45 8.72 11.74 21.11
33 1.18 1.39 1.92 2.65 3.65 5.00 6.84 9.33 12.68 23.23
34 1.18 1.40 1.96 2.73 3.79 5.25 7.25 9.98 13.69 25.55
35 1.19 1.42 2.00 2.81 3.95 5.52 7.69 10.68 14.79 28.10
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