複利計算を“暗算”で行う：3分LifeHacking

もし100万円を12％の金利で預けた場合、6年経つと資産は約200万円……。こんな、資産運用や借金の概算をざっくり暗算する方法を紹介しよう。

[斎藤健二，ITmedia]

　投資をしようと思い立ったり、家を買うなど借金をしたりするときに、必ずついて回るのが複利計算だ。5％の金利であっても、その利子についてさらに利子がつくことで、資産や借金の額が急速に大きくなることを“複利”という。

　普通に考えれば、100万円に最初の1年で5％の利子がついて105万円。2年目は105万円に5％の利子がついて、110万2500円、3年目は110万2500円に……という計算になる。電卓でも（金融電卓でない限り）同じように計算しなくてはならず、面倒なことこの上ない。

　ただしいわゆる“投資”をかじったことのある人なら、「72の法則」を聞いたことがあるだろう。これは、72を利率のパーセントで割ると、資産や借金が2倍になる年数が分かるというものだ。例えば、100万円を毎年6％で運用すると、12年で201万2196円となり、ほぼ2倍となる。

　30年ほど前は郵便局定期預金の利率が7％程度あって、「10年で貯金が2倍になる」といわれていたが、これも72÷7＝10.2という計算で表される。

　3000万円を金利2％で借金した──。この場合、返さなければいけない額は、72÷2＝36。つまり36年で額はだいたい2倍となる。住宅など35年ローンの場合、毎月の支払いによって徐々に元本も減っていくので、約4000万〜4500万円程度の合計返済額となる。※初出で住宅ローンの場合の計算方法が誤っておりました。お詫びし、訂正させていただきます

資産を3倍にするには？

　同様に、では資産が3倍になるのにかかる期間はどれくらいか。これは「114の法則」という。同じく114を利率で割れば、だいたいの3倍になる年数が分かる。

　ちなみに4倍は、2倍のさらに2倍だから、72の法則で出した年数を2倍すればいい。また、2倍になるのにかかる年数の約半分の年数で投資を止めた場合、1.4倍少々に増えている。先ほどの100万円を6％で運用すると、2倍の200万円になるにはだいたい12年かかるが、6年目には142万円程度になっているということだ。

　では、いったいどうして72の法則や114の法則が成り立つのだろうか。

複利計算の近似式

　数式で考えると、利率をr、年数をNとした場合、資産の増加は、

• A（1＋r）^N

　という式で表される。利率が0〜15％程度の場合、この式は、

• 1＋rN＋1/2（rN）^2

　という式が近似式となる。

• 72÷利率＝2倍になる年数

　とは、利率×年数＝0.72（※パーセントなので100分の1する）という意味でもあるので、rN＝0.72と置いて近似式を計算すると1．972となり、ほぼ2倍になっていることが分かる。

　数式を日本語にしてみると、「利率と年数を掛けて1を足す。利率と年数を掛けて2乗して半分にする。その両方を足すと資産の増加率となる」わけだ。72／114の法則ほど簡単ではないが、これを覚えておけば、けっこう暗算が可能になる。「10％の利率で10年借りない？」　と言われても、これがだいたい2.5倍くらいの合計支払いだということが分かるわけだ。

　上記の計算を暗算するとき、問題となるのがやはり2乗の部分。さて、下記の公式を覚えているだろうか。これを使えば2乗の暗算は簡単にできる。

　（A＋B）^2＝A^2＋2AB＋B^2

　たとえば14の2乗は、10^2＋4^2＋2×10×4＝100＋16＋80＝196──となるわけだ。

　ちなみに、利率が小さい場合しか72の法則はうまく働かないのに注意。例えば、利子が36％ついても2年ではまだ2倍に達しないし、72％の利率でも1年で2倍にならないことは明らかだ。

複利計算早見表

年数＼利率	0.5%	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	10%
1	1.01	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07	1.08	1.10
2	1.01	1.02	1.04	1.06	1.08	1.10	1.12	1.14	1.17	1.21
3	1.02	1.03	1.06	1.09	1.12	1.16	1.19	1.23	1.26	1.33
4	1.02	1.04	1.08	1.13	1.17	1.22	1.26	1.31	1.36	1.46
5	1.03	1.05	1.10	1.16	1.22	1.28	1.34	1.40	1.47	1.61
6	1.03	1.06	1.13	1.19	1.27	1.34	1.42	1.50	1.59	1.77
7	1.04	1.07	1.15	1.23	1.32	1.41	1.50	1.61	1.71	1.95
8	1.04	1.08	1.17	1.27	1.37	1.48	1.59	1.72	1.85	2.14
9	1.05	1.09	1.20	1.30	1.42	1.55	1.69	1.84	2.00	2.36
10	1.05	1.10	1.22	1.34	1.48	1.63	1.79	1.97	2.16	2.59
11	1.06	1.12	1.24	1.38	1.54	1.71	1.90	2.10	2.33	2.85
12	1.06	1.13	1.27	1.43	1.60	1.80	2.01	2.25	2.52	3.14
13	1.07	1.14	1.29	1.47	1.67	1.89	2.13	2.41	2.72	3.45
14	1.07	1.15	1.32	1.51	1.73	1.98	2.26	2.58	2.94	3.80
15	1.08	1.16	1.35	1.56	1.80	2.08	2.40	2.76	3.17	4.18
16	1.08	1.17	1.37	1.60	1.87	2.18	2.54	2.95	3.43	4.59
17	1.09	1.18	1.40	1.65	1.95	2.29	2.69	3.16	3.70	5.05
18	1.09	1.20	1.43	1.70	2.03	2.41	2.85	3.38	4.00	5.56
19	1.10	1.21	1.46	1.75	2.11	2.53	3.03	3.62	4.32	6.12
20	1.10	1.22	1.49	1.81	2.19	2.65	3.21	3.87	4.66	6.73
21	1.11	1.23	1.52	1.86	2.28	2.79	3.40	4.14	5.03	7.40
22	1.12	1.24	1.55	1.92	2.37	2.93	3.60	4.43	5.44	8.14
23	1.12	1.26	1.58	1.97	2.46	3.07	3.82	4.74	5.87	8.95
24	1.13	1.27	1.61	2.03	2.56	3.23	4.05	5.07	6.34	9.85
25	1.13	1.28	1.64	2.09	2.67	3.39	4.29	5.43	6.85	10.83
26	1.14	1.30	1.67	2.16	2.77	3.56	4.55	5.81	7.40	11.92
27	1.14	1.31	1.71	2.22	2.88	3.73	4.82	6.21	7.99	13.11
28	1.15	1.32	1.74	2.29	3.00	3.92	5.11	6.65	8.63	14.42
29	1.16	1.33	1.78	2.36	3.12	4.12	5.42	7.11	9.32	15.86
30	1.16	1.35	1.81	2.43	3.24	4.32	5.74	7.61	10.06	17.45
31	1.17	1.36	1.85	2.50	3.37	4.54	6.09	8.15	10.87	19.19
32	1.17	1.37	1.88	2.58	3.51	4.76	6.45	8.72	11.74	21.11
33	1.18	1.39	1.92	2.65	3.65	5.00	6.84	9.33	12.68	23.23
34	1.18	1.40	1.96	2.73	3.79	5.25	7.25	9.98	13.69	25.55
35	1.19	1.42	2.00	2.81	3.95	5.52	7.69	10.68	14.79	28.10
もっと正確な複利計算をしたい──という人のために用意した。縮小コピーして手帳にでも貼っておけば、金融に強いところを見せられるかもしれない