「GPT-4」搭載ChatGPTに東大入試数学を解かせてみた GPT-3.5との回答の違い、点数は？（2/2 ページ）

[谷井将人，ITmedia]

東大名問「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

質問　円周率が3.05より大きいことを証明せよ。

　この問題は、直径1の円に内接する正多角形のうち、周の長さが3.05以上になるようなものを見つけられればクリアできる。シンプルだが、これが地味に大変なのだ。

GPT-3.5の解答　「3.14……なので3.05より大きい」

GPT-3.5　円周率の値は、数学的に正確に計算された定数であり、その値は無限に続く小数で表されます。ただし、3.05は有限の数であるため、円周率が3.05より大きいことは自明です。

　より正確に言うと、円周率の値は3.1415926535...と続きます。この小数点以下の桁数は無限に続くため、3.05よりも大きいことが示されます。

　この解答は0点を付けるのもためらわれる。要約すると「πは小数点以下の桁数が3.05より多いので大きい」だ。そんなわけない。

GPT-4の解答　「アルキメデスに倣って解きました」

GPT-4　古代ギリシャの数学者アルキメデスは、円の内外に正多角形を描くことで円周率の近似値を計算する方法を開発しました。正多角形の辺数を増やすことで、近似値は実際の円周率に限りなく近づく。

　アルキメデスの方法を用いて、内接する正六角形と外接する正六角形を考えます。正六角形は、各内角が120度であり、一辺の長さが円の半径と等しいことを利用して計算を進めます。

　内接正六角形の周囲の長さは、半径rの6倍になります。従って、この近似値は 6r です。

　外接正六角形では、各三角形が等辺三角形であることから、一辺の長さは r√3 です。従って、この近似値は 6r√3 です。

　これらの近似値を用いて、円周率πの下限と上限を計算します。

　下限: 円周 = 6r　円周率の下限: π > 円周 / 直径 = (6r) / (2r) = 3

　上限: 円周 = 6r√3　円周率の上限: π < 円周 / 直径 = (6r√3) / (2r) = 3√3（~5.196）

　この結果から、円周率πは3と5.196の間にあり、3.05より大きいことが示されました。これは、アルキメデスの方法を用いた最も簡単な証明であり、より高次の正多角形を用いることで、さらに精度の高い近似値が得られます。実際の円周率の値は、3.14159……です。

　GPT-3.5に比べると圧倒的に良い。点数をあげるのは難しいが。冒頭のアルキメデスのくだりは正しい。書いてある通りの方法で円周率の近似値を求めていたといわれている。それを解答欄に書く必要はないが。時間に余裕でもあったんだろう。

　ツッコミどころは多いが、論の進め方も悪くない。問題があるのは以下のポイント。

• 外接する多角形については計算する意味がなく、時間の無駄でしかない
• 外接する多角形の周の長さが計算ミス
• 内接する多角形の周の長さが3なので、π＞3.05の証明になっていない

　点数はあげられないが、GPT-3.5に比べると的を外していないだけかなりの進歩に見える。