ちょっと昔のInnovative Tech

「素数」はランダムではない　出現周期に現れる“偏り”とは？　2016年発表の論文を紹介

公開 2024年07月04日 08時00分

著者

山下裕毅

[ITmedia]

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ちょっと昔のInnovative Tech：

このコーナーでは、2014年から先端テクノロジーの研究を論文単位で記事にしているWebメディア「Seamless」（シームレス）を主宰する山下裕毅氏が執筆。通常は新規性の高い科学論文を解説しているが、ここでは番外編として“ちょっと昔”に発表された個性的な科学論文を取り上げる。

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　米スタンフォード大学と米タフツ大学に所属する研究者らが2016年に発表した論文「Unexpected biases in the distribution of consecutive primes」は、長年、ランダムだと考えられてきた素数の出現パターンに、予想外の規則性が存在することを発表した研究報告である。

「素数」はランダムではない　出現周期に現れる“偏り”とは？

　素数は、1と自身以外で割り切れない数であり、他の全ての数は素数の積で表現できるため、数論の基礎を理解する上で極めて重要である。しかし、ある数が素数であるかどうかを予測する方法は存在せず、数学者たちは素数がランダムに出現すると考えてきた。

　研究者たちは、最初の1億個の素数を調査し、興味深いパターンを発見した。1で終わる素数の直後に再び1で終わる素数が現れる確率は、わずか18.9％であると判明。7以上の素数の下一桁は必ず「1」「3」「7」「9」のいずれかになるため、もし素数が完全にランダムに分布しているなら、この確率は25％になるはずである。

　1で終わる素数の後には、3や7で終わる素数が予想以上に多く現れ、それぞれ約30％の確率で出現。9で終わる素数は約21.8％の確率で1の後に現れ、同様のパターンは他の末尾の組み合わせでも観察できた。全ての組み合わせにおいて、予想されるランダムな値からの偏りが見られたのだ。

最初の1億個の素数における、連続する2つの素数の末尾の組み合わせの出現回数

　このことは、このパターンが素数自体に内在する性質である可能性を示唆している。ただし、このパターンは、より大きな数を調べるにつれて、徐々にランダムな分布に近づいていく傾向がある。具体的には、このバイアスの大きさが「loglogx／logx」のオーダーで減少すると予測している。

Source and Image Credits: Lemke Oliver, Robert J., and Kannan Soundararajan. “Unexpected biases in the distribution of consecutive primes.” Proceedings of the National Academy of Sciences 113.31（2016）: E4446-E4454.

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2019年にスタートした本連載「Innovative Tech」は、世界中の幅広い分野から最先端の研究論文を独自視点で厳選、解説している。執筆は研究論文メディア「Seamless」（シームレス）を主宰し、日課として数多くの論文に目を通す山下氏が担当。イラストや漫画は、同メディア所属のアーティスト・おね氏が手掛けている。

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