“run this by 〜(誰々)”というのは、「(誰々)に話を通す」「(誰々)に聞いてみる」という意味の慣用句で、「ある事柄が大丈夫かどうかを確認するために誰かにチェックしてもらう」ことにも使います。例えば「上司に確認します」は、“I will run this by my boss.”といいます。また、同じ意味で“run it past 〜(誰々)”というフレーズを使うことももできます。
また、“sign off on 〜”とは、何かを「正式に承認する」ことで、“sign off on a contract”というと、契約書に署名し、契約を締結したという意味です。
ところが、“sign off”だけだと、「放送などが終了する」という意味を持ち、“The anchor always signed off with, “Good day from Tokyo”.”(司会者はいつも「東京からごきげんよう」と言って番組を終わる)という使い方をします。